Grundlagen der Arithmetik

Die philosophische Fundierung des Fregeschen logizistischen Ansatzes bilden subtile erkenntnistheoretische und sprachphilosophische Analysen und Begriffsklärungen, die großenteils in den festen Methodenbestand sowohl der analytischen als auch der konstruktiven Wissenschaftstheorie der Gegenwart übergegangen sind. Freges Kritik des Psychologismus und des Formalismus in Logik und Mathematik ist heute unvermindert aktuell. Die Stärke der Darstellung liegt in der fast formelfreien Auseinandersetzung der Grundideen, deren mustergültige Klarheit nicht nur einen ganzen Stil des Philosophierens geprägt hat, sondern mit Recht zu einem Maßstab verantwortlichen Argumentierens in der Philosophie geworden ist. Die vorliegende Ausgabe enthält außer dem sorgfältig durchgesehenen und wo erforderlich verbesserten Text eine ausführliche Einleitung, zahlreiche kommentierende Anmerkungen, eine umfassende Bibliographie, zehn ergänzende Texte (Rezensionen bzw. Stellungnahmen zur Erstausgabe der "Grundlagen" bzw. zum unveränderten Neudruck von 1934 und eine "Erwiderung" Freges), ein Namen- und Sachregister sowie ein erst 1980 als authentisch gesichertes Porträtfoto Freges.

• | Kapitel kaufen CoverI
• | Kapitel kaufen InhaltsverzeichnisVII
• | Kapitel kaufen Einleitung des HerausgebersXIX
• | Kapitel kaufen 1. Die Ziele der Grundlagen der ArithmetikXXII
• | Kapitel kaufen 2. Hauptprobleme der Grundlagen und InhaltsüberblickXXV
• | Kapitel kaufen 3. Die zeitgenössische Rezeption der GrundlagenL
• | Kapitel kaufen 4. Die Stellung der Grundlagen in Freges GesamtwerkLIII
• | Kapitel kaufen 5. Zu Textüberlieferung und TextgestaltungLXI
• | Kapitel kaufen Gottlob Frege: Die Grundlagen der Arithmetik1
• | Kapitel kaufen Einleitung3
• | Kapitel kaufen § 1. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar13
• | Kapitel kaufen § 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises13
• | Kapitel kaufen § 3. Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke14
• | Kapitel kaufen § 4. Die Aufgabe dieses Buches15
• | Kapitel kaufen I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze16
• | Kapitel kaufen Sind die Zahlformeln beweisbar?16
• | Kapitel kaufen § 5. Kant verneint dies, was Henkel mit Recht paradox nennt16
• | Kapitel kaufen § 6. Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft17
• | Kapitel kaufen § 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet19
• | Kapitel kaufen § 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich21
• | Kapitel kaufen Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?22
• | Kapitel kaufen § 9. Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen22
• | Kapitel kaufen § 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze inductive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen, wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen.23
• | Kapitel kaufen § 11. Leibnizens "Eingeboren"25
• | Kapitel kaufen Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori oder analytisch?26
• | Kapitel kaufen § 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung als Erkenntnissgrund26
• | Kapitel kaufen § 13. Unterschied von Arithmetik und Geometrie28
• | Kapitel kaufen § 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet28
• | Kapitel kaufen § 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons29
• | Kapitel kaufen § 16. Dagegen Mills Herabsetzung des "kunstfertigen Handhabens der Sprache". Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten29
• | Kapitel kaufen § 17. Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dass die Zahlgesetze analytische Urtheile sind, worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile30
• | Kapitel kaufen II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl32
• | Kapitel kaufen § 18. Nothwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen32
• | Kapitel kaufen § 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein32
• | Kapitel kaufen § 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz.33
• | Kapitel kaufen Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?34
• | Kapitel kaufen § 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder34
• | Kapitel kaufen § 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab34
• | Kapitel kaufen § 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar36
• | Kapitel kaufen § 24. Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphyisische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden36
• | Kapitel kaufen § 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen38
• | Kapitel kaufen Ist die Zahl etwas Subjectives?39
• | Kapitel kaufen § 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objectives39
• | Kapitel kaufen § 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe41
• | Kapitel kaufen Die Anzahl als Menge43
• | Kapitel kaufen § 28. Thomaes Namengebung43
• | Kapitel kaufen III. Meinungen über Einheit und Eins44
• | Kapitel kaufen Drückt das Zahlwort „Ein" eine Eigenschaft von Gegenständen aus?44
• | Kapitel kaufen § 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke »μονάς« und »Einheit.« E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen44
• | Kapitel kaufen § 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen45
• | Kapitel kaufen § 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke)45
• | Kapitel kaufen § 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird46
• | Kapitel kaufen § 33. Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar47
• | Kapitel kaufen Sind die Einheiten einander gleich?48
• | Kapitel kaufen § 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit.« E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich48
• | Kapitel kaufen § 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons49
• | Kapitel kaufen § 36. Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stösst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons50
• | Kapitel kaufen § 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins51
• | Kapitel kaufen § 38. »Eins« ist Eigenname, »Einheit« Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definirt werden. Unterschied von »und« und +51
• | Kapitel kaufen § 39. Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von »Einheit« verdeckt52
• | Kapitel kaufen Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden53
• | Kapitel kaufen § 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons53
• | Kapitel kaufen § 41. Der Zweck wird nicht erreicht55
• | Kapitel kaufen § 42. Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens. Hankels Setzen55
• | Kapitel kaufen § 43. Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1.56
• | Kapitel kaufen § 44. Jevons Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen57
• | Kapitel kaufen Lösung der Schwierigkeit59
• | Kapitel kaufen § 45. Rückblick.59
• | Kapitel kaufen § 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem Begriffe die Zahl sich ändere60
• | Kapitel kaufen § 47. Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objectivität des Begriffes60
• | Kapitel kaufen § 48. Auflösung einiger Schwierigkeiten61
• | Kapitel kaufen § 49. Bestätigung bei Spinoza62
• | Kapitel kaufen § 50. E. Schröders Ausführung62
• | Kapitel kaufen § 51. Berichtigung derselben63
• | Kapitel kaufen § 52. Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche64
• | Kapitel kaufen § 53. Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl64
• | Kapitel kaufen § 54. Einheit kann man das Subject einer Zahlangabe nennen. Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit65
• | Kapitel kaufen IV. Der Begriff der Anzahl66
• | Kapitel kaufen Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand66
• | Kapitel kaufen § 55. Versuch, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen66
• | Kapitel kaufen § 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist66
• | Kapitel kaufen § 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen67
• | Kapitel kaufen § 58. Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar68
• | Kapitel kaufen § 59. Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist69
• | Kapitel kaufen § 60. Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt69
• | Kapitel kaufen § 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objective Gegenstand ist räumlich70
• | Kapitel kaufen Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen71
• | Kapitel kaufen § 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit71
• | Kapitel kaufen § 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird71
• | Kapitel kaufen § 64. Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks72
• | Kapitel kaufen § 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird73
• | Kapitel kaufen § 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend74
• | Kapitel kaufen § 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist75
• | Kapitel kaufen § 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes76
• | Kapitel kaufen § 69. Erläuterung76
• | Kapitel kaufen Ergänzung und Bewährung unserer Definition77
• | Kapitel kaufen § 70. Der Beziehungsbegriff77
• | Kapitel kaufen § 71. Die Zuordnung durch eine Beziehung79
• | Kapitel kaufen § 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl80
• | Kapitel kaufen § 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände, den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet81
• | Kapitel kaufen § 74. Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich« zukommt82
• | Kapitel kaufen § 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist83
• | Kapitel kaufen § 76. Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.«84
• | Kapitel kaufen § 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt84
• | Kapitel kaufen § 78. Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind85
• | Kapitel kaufen § 79. Definition des Folgens in einer Reihe 86
• | Kapitel kaufen § 80. Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens86
• | Kapitel kaufen § 81. Erklärung des Ausdrucks »x gehört der mit y endenden φ-Reihe an«87
• | Kapitel kaufen § 82. Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied der natürlichen Zahlenreihe giebt88
• | Kapitel kaufen § 83. Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber88
• | Kapitel kaufen Unendliche Anzahlen89
• | Kapitel kaufen § 84. Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl« zukommt, ist eine unendliche89
• | Kapitel kaufen § 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; »Mächtigkeit«. Abweichung in der Benennung90
• | Kapitel kaufen § 86. Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen in der Reihe91
• | Kapitel kaufen V. Schluss91
• | Kapitel kaufen § 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze91
• | Kapitel kaufen § 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile92
• | Kapitel kaufen § 89. Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden«. Kants Verdienst um die Mathematik93
• | Kapitel kaufen § 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette94
• | Kapitel kaufen § 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich 95
• | Kapitel kaufen Andere Zahlen96
• | Kapitel kaufen § 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hankel96
• | Kapitel kaufen § 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv96
• | Kapitel kaufen § 94. Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt nicht, dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des Beweises97
• | Kapitel kaufen § 95. Man darf nicht ohne Weiteres (c − b) als ein Zeichen ansehn, das die Subtractionsaufgabe löst97
• | Kapitel kaufen § 96. Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich etwas schaffen98
• | Kapitel kaufen § 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden99
• | Kapitel kaufen § 98. Hankels Erklärung der Addition99
• | Kapitel kaufen § 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie100
• | Kapitel kaufen § 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen, dass die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise erweitert wird100
• | Kapitel kaufen § 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig101
• | Kapitel kaufen § 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung101
• | Kapitel kaufen § 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung102
• | Kapitel kaufen § 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen festzusetzen103
• | Kapitel kaufen § 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter104
• | Kapitel kaufen § 106-109. Rückblick105
• | Kapitel kaufen Das Echo der Grundlagen109
• | Kapitel kaufen a. Rezension Hoppe, Archiv für Mathematik und Physik 1885109
• | Kapitel kaufen b. Rezension G. Cantor, Deutsche Litteraturzeitung 1885117
• | Kapitel kaufen c. Anmerkung Zermelos zu Cantors Rezension (1932)119
• | Kapitel kaufen d. Erwiderung Freges auf Cantors Rezension, Deutsche Litteraturzeitung 1885120
• | Kapitel kaufen e. Anonyme Rezension ("G-I"), Literarisches Centralblatt für Deutschland 1885120
• | Kapitel kaufen f. Rezension Eucken, Philosophische Monatshefte 1886122
• | Kapitel kaufen g. Rezension Laßwitz, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik 1886123
• | Kapitel kaufen h. Stellungnahme Schröders in Band I der Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1890128
• | Kapitel kaufen i. Husserls Stellungnahme ("Freges Versuch") in der Philosophie der Arithmetik 1891129
• | Kapitel kaufen j. Heinrich Scholz, Rezension des Neudrucks der Grundlagen 1934, Deutsche Literaturzeitung 1935134
• | Kapitel kaufen Anmerkungen des Herausgebers143
• | Kapitel kaufen Literaturverzeichnis175
• | Kapitel kaufen a. Schriften Freges175
• | Kapitel kaufen b. Andere zitierte Literatur177
• | Kapitel kaufen Namenregister185