Die Grundlagen der Arithmetik

Eine logisch mathematische Untersuchung

Buch

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Herausgegeben von Christian Thiel

Philosophische Bibliothek 366. 1988. Auf der Grundlage der Centenarausgabe. XXIII, 144 Seiten.
978-3-7873-0719-7. Kartoniert

EUR 18,90

Studienausgabe aufgrund der textkritisch herausgegebenen Jubiläumsausgabe (Centenarausgabe). Mit Einleitung, Anmerkungen, Literaturverzeichnis und Namenregister.

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Die Grundlagen gehören zu den klassischen Texten der Sprachphilosophie, Logik und Mathematik. Frege (1848–1925) stützt sein Programm einer Begründung von Arithmetik und Analysis auf reine Logik, indem er die natürlichen Zahlen als bestimmte Begriffsumfänge definiert. Die philosophische Fundierung des Fregeschen Ansatzes bilden erkenntnistheoretische und sprachphilosophische Analysen und Begriffserklärungen.

| Kapitel kaufen CoverI
| Kapitel kaufen GOTTLOB FREGE. Die Grundlagen der ArithmetikIII
| Kapitel kaufen InhaltV
| Kapitel kaufen Einleitung des HerausgebersXIII
| Kapitel kaufen 1. Ziele der Grundlagen der ArithmetikXIV
| Kapitel kaufen 2. Hauptprobleme und Inhalt der GrundlagenXV
| Kapitel kaufen 3. Zur Beurteilung der GrundlagenXX
| Kapitel kaufen Abkürzungen und ZitierhinweiseXXIII
| Kapitel kaufen Einleitung3
| Kapitel kaufen § 1. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar.13
| Kapitel kaufen § 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises13
| Kapitel kaufen § 3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke.14
| Kapitel kaufen § 4. Die Aufgabe dieses Buches 15
| Kapitel kaufen I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze.16
| Kapitel kaufen Sind die Zahlformeln beweisbar?16
| Kapitel kaufen § 5. Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt.16
| Kapitel kaufen § 6. Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft17
| Kapitel kaufen § 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet. 19
| Kapitel kaufen § 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich21
| Kapitel kaufen Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?22
| Kapitel kaufen § 9. Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen.22
| Kapitel kaufen § 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze inductive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die lnduction ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen.23
| Kapitel kaufen § 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung als Erkenntnissgrund26
| Kapitel kaufen § 11. Leibnizens „Eingeboren".25
| Kapitel kaufen § 13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie28
| Kapitel kaufen § 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet. 28
| Kapitel kaufen § 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons29
| Kapitel kaufen § 16. Dagegen Mills Herabsetzung des „kunstfertigen Handhabens der Sprache." Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten.29
| Kapitel kaufen § 17. Unzulänglichkeit der lnduction. Vermuthung, dass die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile.30
| Kapitel kaufen II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl.32
| Kapitel kaufen § 18. Nothwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen 32
| Kapitel kaufen § 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein.32
| Kapitel kaufen § 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz33
| Kapitel kaufen Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?34
| Kapitel kaufen § 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder 34
| Kapitel kaufen § 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab.34
| Kapitel kaufen § 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar36
| Kapitel kaufen § 24. Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden36
| Kapitel kaufen § 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen38
| Kapitel kaufen Ist die Zahl etwas Subjectives?39
| Kapitel kaufen § 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objectives39
| Kapitel kaufen § 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe41
| Kapitel kaufen Die Anzahl als Menge.43
| Kapitel kaufen § 28. Thomaes Namengebung43
| Kapitel kaufen III. Meinungen über Einheit und Eins.44
| Kapitel kaufen Drückt das Zahlwort „Ein" eine Eigenschaft von Gegenständen aus?44
| Kapitel kaufen § 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke. E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiv „Ein" enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen.44
| Kapitel kaufen § 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen.45
| Kapitel kaufen § 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke).45
| Kapitel kaufen § 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird.46
| Kapitel kaufen § 33. Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar.47
| Kapitel kaufen Sind die Einheiten einander gleich?48
| Kapitel kaufen § 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen „Einheit." E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich.48
| Kapitel kaufen § 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons. 49
| Kapitel kaufen § 36. Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stösst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons. 50
| Kapitel kaufen § 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins. 51
| Kapitel kaufen § 38 „Eins" ist Eigenname, „Einheit" Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definirt werden. Unterschied von „und" und + 51
| Kapitel kaufen § 39. Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von „Einheit" verdeckt.52
| Kapitel kaufen Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.53
| Kapitel kaufen § 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons53
| Kapitel kaufen § 41. Der Zweck wird nicht erreicht55
| Kapitel kaufen § 42. Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens. Hankels Setzen55
| Kapitel kaufen § 43. Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1.56
| Kapitel kaufen § 44. Jevons' Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen.57
| Kapitel kaufen Lösung der Schwierigkeit59
| Kapitel kaufen § 45. Rückblick59
| Kapitel kaufen § 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem Begriffe die Zahl sich ändere60
| Kapitel kaufen § 47 . Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objectivität des Begriffes.60
| Kapitel kaufen § 48. Auflösung einiger Schwierigkeiten. 61
| Kapitel kaufen § 49. Bestätigung bei Spinoza 62
| Kapitel kaufen § 50. E. Schröders Ausführung 62
| Kapitel kaufen § 51 Berichtigung derselben63
| Kapitel kaufen § 52. Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche.64
| Kapitel kaufen S 53. Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl64
| Kapitel kaufen § 54. Einheit kann man das Subject einer Zahlangabe nennen. Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit65
| Kapitel kaufen IV. Der Begriff der Anzahl.66
| Kapitel kaufen Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.66
| Kapitel kaufen § 55. Versuch, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen66
| Kapitel kaufen § 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist.66
| Kapitel kaufen S 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen. 67
| Kapitel kaufen § 58. Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar.68
| Kapitel kaufen § 59. Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist.69
| Kapitel kaufen § 60. Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt 69
| Kapitel kaufen § 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objective Gegenstand ist räumlich70
| Kapitel kaufen Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen71
| Kapitel kaufen § 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit71
| Kapitel kaufen S 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches [Kennzeichen]. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird. 71
| Kapitel kaufen § 64. Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks 72
| Kapitel kaufen § 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird73
| Kapitel kaufen S 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend. .74
| Kapitel kaufen § 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist. 75
| Kapitel kaufen § 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes 76
| Kapitel kaufen § 69. Erläuterung. 76
| Kapitel kaufen Ergänzung und Bewährung unserer Definition.77
| Kapitel kaufen § 70. Der Beziehungsbegriff 77
| Kapitel kaufen § 71. Die Zuordnung durch eine Beziehung 79
| Kapitel kaufen § 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl.80
| Kapitel kaufen 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet. 81
| Kapitel kaufen § 74. Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe „sich selbst ungleich" zukommt 82
| Kapitel kaufen § 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist. 83
| Kapitel kaufen § 76. Erklärung des Ausdrucks „n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m." 84
| Kapitel kaufen § 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich 0" zukommt. 84
| Kapitel kaufen § 78. Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind 85
| Kapitel kaufen § 79. Definition des Folgens in einer Reihe 86
| Kapitel kaufen § 80. Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens 86
| Kapitel kaufen S 81. Erklärung des Ausdrucks „x gehört der mit y endenden phi-Reihe an". 87
| Kapitel kaufen § 82. Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied der natürlichen Zahlenreihe giebt 88
| Kapitel kaufen § 83. Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber. 88
| Kapitel kaufen Unendliche Anzahlen89
| Kapitel kaufen S 84. Die Anzahl, welche dem Begriffe „endliche Anzahl" zukommt, ist eine unendliche.89
| Kapitel kaufen § 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; „Mächtigkeit". Abweichung in der Benennung 90
| Kapitel kaufen S 86. Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen in der Reihe. 91
| Kapitel kaufen V. Schluss.91
| Kapitel kaufen S 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze.91
| Kapitel kaufen § 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile. 92
| Kapitel kaufen § 89. Kants Satz: „Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden". Kants Verdienst um die Mathematik.93
| Kapitel kaufen § 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette. 94
| Kapitel kaufen § 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich. 95
| Kapitel kaufen Andere Zahlen.96
| Kapitel kaufen § 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hankel. 96
| Kapitel kaufen § 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv. 96
| Kapitel kaufen § 94. Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt nicht, dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des Beweises. 97
| Kapitel kaufen § 95. Man darf nicht ohne Weiteres (c - b) als ein Zeichen ansehn, das die Subtractionsaufgabe lßst. 97
| Kapitel kaufen S 96. Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich etwas schaffen.98
| Kapitel kaufen § 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden 99
| Kapitel kaufen § 98. Hankels Erklärung der Addition.99
| Kapitel kaufen § 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie. 100
| Kapitel kaufen § 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen, dass die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise erweitert wird. 100
| Kapitel kaufen § 101 Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig. 101
| Kapitel kaufen § 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung. 101
| Kapitel kaufen § 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung. 102
| Kapitel kaufen § 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen festzusetzen.103
| Kapitel kaufen § 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vemunftcharakter. 104
| Kapitel kaufen § 106-109. Rückblick 105
| Kapitel kaufen Anmerkungen des Herausgebers109
| Kapitel kaufen Literaturverzeichnis140
| Kapitel kaufen a. Schriften Freges140
| Kapitel kaufen b. Andere zitierte Literatur141
| Kapitel kaufen Namenregister143